Seahorse Valley

Robert P. Munafo, 2009 Dec 20.

Colloquial name for the cusps between R2a and R2.1/2a, particularly the upper one, R2.C(1/2-). See R2.C(1/2).

-0.75 +0.08 i @ 0.16, Nmax: 20000

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The upper Seahorse valley is shown in the picture. The right side, those parts attached to the continent seed, is part of the Shoulder, and the left side is part of the Head.

Seahorse Valley zoom sequence

The following zoom sequence is a permanent part of the Mandelbrot set culture. It goes back at least as far as the 1985 Scientific American article, and probably originates with Peitgen and Richter.

-0.74548 + 0.11669i @ 0.01276, Nmax: 17290

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-0.744567 + 0.121201 i @ 0.002, Nmax: 17290

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-0.7445366 + 0.1217208 i @ 5e-4, Nmax: 17290

.,, ]@@%_e_e ___ ,._ '@@@F**@@Y@r @@@mbd@e, _a@@@m@,-"" . .._ .am""C@^%T[ ., :mmL,.,_ 'b@@@@@@@bmdr@me/@@_,_ '^C@@m@mdbemmr@/-T@@@@@*-e Y@@@@@@@@F@C$b,d*Y$(@bc T@d@@@@@@@@$@$@r%$e*^ *" ]@@@@@@@FC@m@_'C@F^` ac __,,"@@@@@@@@FC\d@.dm@@- -d($@@C@F%%C_(CY@@F` "^%\ T@@@@@@@@(@L/)@$C@m,-mmdb($`$"b^*Td@@^^*Y@,.me, ^` :@@@F@F%F*"d@*` `'^Y_^***"`^@@@.mm*` :_v/b'Y@[ ._a@/@ma@@L:r/(_, Y%_@bmre, ^^m"*:@C_ '"mm@b_, m_,*@@@**`'*@*/@[Y@\e.,^^*@_'"`. vd@bvd$b@m, '@F^^) ^^*m___ae, .-@ead%@@@@m_ '"\mmdm@bed(b@@@@@e 'be^,, @d_$C@;'"` _.$@^Tr@@@@@@@b, '""@b"(b@@@@@@@@ '"@@[ _'^^^"*mmmmd@b@^@F@@@@@@@@L m(@@@YF "[ @@mm_, '^"^^*F'^` -C/@$@@ ^$@~"" @@@@@@Lc ^"Y` @@@@@C)r *$"@@F@* ^**@b -0.744 539 8 +0.121 723 8i @ 0.000 500 0, Nmax: 200000

-0.74453892 + 0.12172418 i @ 1e-4, Nmax: 17290

]@@@@cY7`'@%@@@e__ ./bFC@@@@@@@@F$F\m@@` ""*[ ^%@@@` "F@b@:Cv@@@, abYbYY@@@@@F@\*@;\$:mree_, *^' -**'vd@$Cbm /@)@@@/@@bCC$*"@b"L@@@@@[ '*^Yd@@e_ '*\@"C$d@@%*"@m,e@FF*F@[ '^'@Y@e_ ^`^*"Yb-Yb-**@- '"*` __.__e '^@d@\_, _^@@F**@e, 'YbF@b__ d@@- .r-$F '^^/Td@@;,.., '-YY$L ^^^ .ed@@"*@*Ta@@__:m_,._ _ $@d$ac._ .,.'^*"\m\@vm@@@*b/@F@YF@m@_._ '"-b@$/@reY@@F^%T@F*@)m\a@@d^"*^^*"@TYd@ "^^"@@b(L/@r_%^@*@F*""^` ^ _, 'Yd@mc '*^'"*@@@C^\@"^.d@@b .a/Y\- :@CL '**`"mY$@e@"YC -Ybd^_ad@F^ -%@@FYmaLme "*Y**"^` e, _,, ^^`Ym@eC*m__ "^c@@L. __, .@@@*d"@@, _ m_-Y$*^)d@,,. '^`'Y@@@7$d@[ ._, . $*/^m@eaCF")d@` :@*"L@@d@^\]@@_, adr.., ~@b"FCe'/Y)/%**emm ^%@@@(CL@@^%e"@@@@` /*$mc@@;%beaF@:d@Fe.,, ^^`"*@@@@*-L`d\dc, '^^^^^^^^^ ^``'^` ^^^ '^^`^'^^^^^`` -0.744 539 85 +0.121 723 77i @ 0.000 100 00, Nmax: 200000

-0.744539761 + 0.121724001 i @ 6.25e-6, Nmax: 17290

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The original Scientific American sequence ended at this point, illustrating the existence of small decorated Mandelbrot sets within the details of the whole.

-0.7445398671 + 0.1217237421 i @ 3.906e-7, Nmax: 50000

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-0.74453985651 + 0.12172377365 i @ 3.072e-8

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The filaments on the left are all part of R2F(13/27B2) but are not part of the island's mu-unit.

We will now zoom in to the filaments on the left, and find one of its "double-hook" features.

-0.7445398603558 + 0.1217237736544 i @ 9.6e-10

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-0.74453986035590 + 0.12172377389443 i @ 6.0e-11

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-0.744539860355905 + 0.121723773894425 i @ 7.5e-12

]"\@^` :_mF@^ dF_@` .a@@m `*Cb@FY@@@m""` "@F" '@C@@, ^^` _]d@@m '`^^^" ^ @@ vm@@/Y[_, '@$(*[., aCd""d@F :ama@b%@@@@F, , :mmd@@)@%@@@e,'Y@@@@*"@@$@b,a@r,_:m_,@mr@c '**@@@$"`.._^Ye,'^`___,TF\/)@@@@F7*@$F*F"` .__aam@^`:@@@ ]C"`d@@bcm@@'`d,*@F*Yv\m@%^^` a, am___7@@@@%Y@_,""`_:@Fr%")r@%e/%%@bemre :@@"" -@; $@@*em@@*YF"^%%^Ym@"/Lb(@@@d@@@@@@aYL'^_d* ^` *d@m"@,$dbc '@%_d*"/mb@@@@@@@@@@@@F/@@*^.amme, ^^ "*@@@@c '@@Cv$C@@@@@@@@@@@@@@^b$L @@@@@,, ._ -@@@F`.:a)@(Y@@@@@@@@@@@@@F"*"F@e 'Y@*@*@eY@m- _ '..m/**@:@@@@@@@@@@@@@@%-@@,-m* .%b"@vd7L@$c @` __adF`:@_dC%@@@@@@%Y@Y($:(7*^*"vmmm@%@@@L-**Y[ ^ .,_*@@F@__,_;^Ybv'a%r\%amc^*@` adbc '(m/*"@@` _ma$F@$be@@@@@*F`d`r_@**^*Yb,:m$` TC@m_-""^ F)@FYY@-*"Y@@\cad@-'^___e_,"@e__,-dbd@@@@e, ' ^ ^"` "Yb@@"dY@@@@@ ^*@@bF~Y@@"^` m@@Y@^^@F^*^ d@F)FC^*` . . (m(C@m :@m@@F* _, :mm]@rve_, '*@Y%* _.. '^F@@; ^Y[ ^^'^^^^^^^'` '^^^^ ^^^^^ '^^^^^ '^` -0.744 539 860 355 907 +0.121 723 773 894 425 i @ 0.000 000 000 007 500, Nmax: 20000

-0.7445398603559061 + 0.1217237738944253 i @ 9.375e-13

]F@d@@@@@@@@@@@@@@@@@b$@m[d`bd(dd@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ %@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y@Y*eF\d@bd@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ b@@@@@@@@@@@@@@@@C@dY/")(@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@YF-/(^"YCY@/@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@CC(F%F@L@@b_"F)_d@(@@@@@@@@@@@@@@@@@@@bd@@@@@[ @@@@@@@-_d*b)*@:m^bd%%"@d@@@@@@@CY@@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@Y%eFb$)"*d@""YF"\)@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@b@TeFm@b$b$)a%m@-\%%d$F/@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@b@@@@@@@@@/@^7Lv/**vb%%TY@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ F@@@@@@@@@@@@@@YYL@bmY-aF"^'bFY*@@F$FF@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@%@vm'/m"Lmm@bF_@b"(T/$@@@@@@@@@@@@@d[ @b@C@@@@@@@@@C@dFmFCY":[""^Lm(^b_%%bdY@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@b@@@@@@@@C$:md@,"*%7LvFF@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@mmcF)@@[^/bd7T@@@@@@@@F@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@C@Lar-b^*`d;*"$bFY$@/@(@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@TF@@@@@@@(/:mF@m*@^@^T)"@dv@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@)@@@@@@@@@Ymr-_"(%_FC@T@(_%@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Fd"@,/"d\:TF@m@@m@d/d@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@CC[Y*Yr%_F@@@@@@@@@@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@*C@"/@^7d@@@@@@@@@@b@@@@@` @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(/*(Y@/bC)@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y[ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`'^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`` -0.744 539 860 355 908 3 +0.121 723 773 894 424 8 i @ 0.000 000 000 000 937 5, Nmax: 20000

-0.74453986035590837 + 0.12172377389442482 i @ 8e-14

]@@c `'^ __, ._ ._dC_dFF@bm-d@__. am,_amm%@@@@^@%@mF$@@@@,. ._ _ -@@@d@(bmdC^@@@- ^ ` ^@@@, . .@mb__aemr%Y@@@*@_%%%; ._rv,:@@, _, dde_mm(@@@@@*@% `dCbF*"d@@** ]@e%_a@* @@md[(@@CFLa@@C*b@**b/**"__,-@F '^*^^` md%@@C$YL$$m7)-:@(b,:m"TbmdF/Ld"____, -c *@@$"*Y`'^T*`'*@@@@b '@$@@@bCF`-@@@@;, .. ._._mmm- L^^^ m@@@"_/Fd@@@@**e "@*@/"e(@bmeF@@^b(@[ ` _ '' _d`meF"^*e7^,_@*b_%/)^bbd*b@@@r*` .-mdm@m_ .__@@,._.d@@ T@@Y$@d@F;$F@@@F""`*` _@@`:-/@ '@@@@$(Y@@d,m.m@$F*F@@'^` "*` /@@, ^^ _,_mmmm_@@@@@@e^`' '*"- 'Y@@m_a_.e_%@*)m@\/bd*^C@C ]*Y@@b\$bdFd@@@b^` -*^"^@@'^`'"" :mec '^^` -0.744 539 860 355 908 37 +0.121 723 773 894 424 82 i @ 0.000 000 000 000 080 00, Nmax: 20000

-0.744539860355908380 + 0.121723773894424824 i @ 6.0e-15

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-0.7445398603559083806 + 0.1217237738944248242i @ 7.5e-16

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-0.74453986035590838081 + 0.12172377389442482421i @ 9.375e-17

]@@@@@@@F@/FL@mC$/(%"$"@F~b@bm*@m'"Y@a*$@@@@@@@@@@@[ $@@@@@CF@7(bmm,:@CF*"'""*e_,^*md%_a@@d^Yd@@@@@@@@@@[ @@@@@@b^(em@d%_mF^` ._e.^Ye ^^"""^*"@m%@@@YF(Y@@[ @@@@@@@[**^^^^^ ._:dF,^`'@@_ ^@F]de)T@*@@[ @@F@$YT@mr-***bmem__F@)*\,ddbY@ramammmv,TL "@@_mb~\[ Yd$")@^^ .F*-:$@F"@(*_C\@e_m-@-/*Y@` "^:F '@;m@`Y), d%bd@L @@me_%*`/md@@dbd@bd%@r("a"mm_b@` "be__/*- "_,'@@ m@@C:m""Cd@@@@@@@@@@@@@@@ad^"@F- ^*Y$C:; dF*.@^ :_a@dC_@d@@@@FF%Cmm@%@@@@@@/L$(%@mc_ '*(a[ a@@" .ad@@@C-L/b@@@@T@@@@@@@@@b*@@@@@b(^Y@@@m, ddb%[ T@`.d"%_ -**.dF@@@@F@@@@F`:@@@@F@@@@Cvd"C``.dFad".d[ @mmF` YC_mm"\_@$@@@@(@@@@@m@@@@Y@@@@(@e'@@__em*`a/@- Cm*^ '"Y@bmc@@Y@@@@%@@@@@@@@%d@@@@/e/_d@@^` aaF*Yc @/@@,, ^^bm^vaC$Y@@@@m@%@@m@@@@@Y'\-@eC; .d['Y*` d\dbYbm, ^@@@me:)-@@F@@@@@@@@F@@$*-^a@@@, -Y@a_m[ $@,._/TL .d*^ ^`@/*%7)"L@@@")*"L*`d@" ^'@c m@@^$/; emL/@Ld@ ]@ (L_d@@@CLb^%m_Y/"a@d@@@@m_'*"._amvrmd)@[ bda@d,@@e Te '^^` ^ "F@@"^ *@@F" '`'^^""^^^^Yb@@@@@[ @@@@@drdYedY[__ _ , 'T@,:maF^ _aamrmmd@(@Y@@@@@[ @@@@@@@@@@@@[Y@m@bY(m_,^*m_..,.__m@F`:m_@_:C@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@`e*F .mc^@m__'Y@"e*F*Y@__%%@%)@@@@@@@@[ ^^^^^^^^^^^^`^'^^^ ^^^`^^^`^^^'^^^^'^^`^^'^^^^^^^^^` -0.74453986035590838011 + 0.12172377389442482241 i 9.375e-17, Nmax: 200000

-0.74453986035590838012 + 0.12172377389442482241 i @ 1.172e-17

]F@@@@@@@@^%F\md@)C)db@@@d@d@@@d@$@*@CLe^"YY@@@@@@@[ $@@$@@*mrmm@Y/bm@@@@@@@@YFY@YFY@@@@@@be@@C7[*$@@@@@[ @@@*bL_@b@dd@@@@@@@@@bd@@@@@@@@@@@@@@@@@@d@@m_/Y@@@[ @@":L@C@@@@@FC$b@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@C@@@@@Cvd'*@@[ L^aF@b@@@YC@@@@@@@@@@@@**"**^$@@@@@@@@@@@$@@@C@"vFY[ ]bd\@@@@$@@@@@@@@****" ^Y@YY@@@@@@@b@@@@$@`"[ m@b@@@Y@@@@@@@F`` '__:@@@@@@@$@@@/$"e[ da@@@Y/@@@@@@r T@@@@@@$@@d@@@F/d"[ /@@@@@@@@@@@@` :@@@@@@@@@d@@@F/@b[ d@@@C@@@@@@F*" amd@@@@@@@@/@@@@7ed[ F@@@(@@@@@@b,_me ..m@@@@@@@@@@@@@@b\@;[ $@@@C@@@@@@@@@@@m . _ad@@@@@@@b@@@\@@@@rY^^[ @d@@@dY@@@@@@@@@@m@mbmmmm-` '*@@@@@C@@@^@@@@7/F^[ vC%@@@@C@@@@d$F@@@@@@@@@@ -@@@@@@@@CT@@@@d7b,[ e/FFF$@@@d@Y@@@@@F@@@@@@bc.,__.ad@@@@@@@@^@@@@Y@bF\[ @L**bd@@@@@@@$@@@@b@@@@@@@@@@[_d@@@@@@@@@@@@@F/d[ @[ @@)e]F*/^Y@@@@@(FY@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@$@@FF7b)@v@[ @@@$e/""*@mY@@@@@@@$@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L@@@FF@^.m@@[ @@@@@@)r,F%/(F@@@@@@@bb$@@@@@@@@@@@@@@Y@@@@)m@Ld@@@[ @@@@@@@@@@e.'Y@-]Y@F@@@@@@@C@*@@@@@@Y@@@@"$F`r(@@@@[ Cd@@@@@@@@@C@e\"**v@\C*@*@@@@@@@b@d@@@@@)""bd@@@@@@[ ^ ''^^^^^^^^^^^^`^'`^^^'^^`^^^^^^^^^^'^^`'^^^^^^^^^` -0.74453986035590838011 +0.12172377389442482241 i @ 1.172e-17, Nmax: 200000

Seahore Valley Islands

Here are the first few islands in the sequence R2F(N/2N+1B2)S:

Computing π in Seahorse Valley

An approximation to the mathematical constant π ("pi") can be calculated in the following way:

π ≅ ε Dwell(-3/4 + ε) ± ε

where ε ("epsilon") is a very small value, like 0.0001. For example, Dwell(-3/4+0.01i) is 315, giving the approximation π≅3.15. The following results were computed using 107-bit precision:

Dwell(C) is the number of iterations for the normal Mandelbrot iteration to "escape" with a normal "escape radius" of 2.0; see Escape-Iterations. The numbers (3, 33, 315, 3143, ...) are Sloane's integer sequence OEIS[A097486] (which I have corrected and extended) The sequence is calculated easily in any language that handles floating-point complex values. Here I am using PARI/GP, and the first long line of input should all be typed as a single line:

? A097486(n) = local(a, c, z); c = 0.1^n*I - 0.75; z = 0; a = 0; while(abs(z) < 2.0, { z = z^2+c; a = a+1 } ); a ? A097486(0) %1 = 3 ? A097486(1) %2 = 33 ? A097486(2) %3 = 315 ? A097486(3) %4 = 3143 ? A097486(4) %5 = 31417 ? A097486(5) %6 = 314160 ? A097486(6) %7 = 3141593 ? A097486(7) %8 = 31415927 ? A097486(8) %9 = 314159266

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